线性代数之矩阵的运算

by LauCyun Aug 24,2017 17:06:44 6,030 views

矩阵运算在科学计算中非常重要,而矩阵的基本运算包括矩阵的加法,减法,数乘,转置等。

先回顾一下矩阵的定义:

\(m×n\)个数\(a_{ij}\)排成的\(m\)\(n\)列的数表称为\(m\)\(n\)列的矩阵,简称\(m×n\)矩阵。记作:

\(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\)

\(m×n\)个数称为矩阵\(A\)的元素,简称为元,数\(a_{ij}\)位于矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列,称为矩阵\(A\)\((i,j)\)元,以数\(a_{ij}\)\((i,j)\)元的矩阵可记为\((a_{ij})\)\((a_{ij})m×n\)\(m×n\)矩阵\(A\)也记作\(A_{mn}\)

1 矩阵的加法与减法

前提条件:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的。

运算规则:

假设有矩阵\(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\)\(B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix}\)

\(A \pm B=\begin{bmatrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & \cdots & a_{1n} \pm b_{1n} \\ a_{21} \pm b_{21} & a_{22} \pm b_{22} & \cdots & a_{2n} \pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & \cdots & a_{mn} \pm b_{mn} \\ \end{bmatrix}\)

简单来说,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!

运算性质 :

  • 满足交换律和结合律
  • 交换律 :\(A+B=B+A\)
  • 结合律:\((A+B)+C = A+(B+C)\)

举个栗子:

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 0.5 \\ 2 & 3 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 0.5 \\ 4 & 8 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\)

2 矩阵与数的乘法

运算规则:

\(\lambda\)乘矩阵\(A\),就是将数\(\lambda\)乘矩阵\(A\)中的每一个元素,记为\(\lambda A\)\(A \lambda\)

特别地,称\(-A\)称为\(A=(a_{ij})_{{m}\times{n}}\)的负矩阵。

 运算性质:

  • 满足结合律和分配律
  • 结合律: \((\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\)\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)
  • 分配律: \(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)

举个栗子:

已知两个矩阵\(A=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1& 5 & 7 \\ 2 & 4 & 5 \\ \end{bmatrix}\)\(B=\begin{bmatrix} 7 & 5 & -2 \\ 5& 1 &9\\ 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}\)满足矩阵方程\(A+2\chi=B\),求未知矩阵\(\chi\)

由已知条件可知:\(\chi=\frac{1}{2}(B-A)=\frac{1}{2}(\begin{bmatrix} 7 & 5 & -2 \\ 5& 1 &9\\ 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1& 5 & 7 \\ 2 & 4 & 5 \\ \end{bmatrix})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & 6 & -4 \\ 4& -4 &2\\ 2 & -2 & -4\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2& -2 &1\\ 1& -1 & -2\\ \end{bmatrix}\)

3 矩阵与矩阵的乘法

前提条件:两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵\(A\)的列数和另一个矩阵\(B\)的行数相等时才能定义。

设矩阵\(A=(a_{ij})_{m×\alpha}\)和矩阵\(B=(b_{ij})_{\alpha×n}\),则它们的乘积\(C=(c_{ij})_{m×n}\),它的一个元素:

\(c_{ij}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+...+a_{i,n}b_{n,j}=\displaystyle\sum_{\chi=1}^{n}a_{i,\chi}b_{\chi,j}\)

图解:\(A×B=\)

举个栗子:

\(​​​​\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ -1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}×​​​​\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3&5 \\ 2&1\\1&6 \\ \end{bmatrix}\)

\(=\begin{bmatrix} (1×1+2×3+1×2+5×1)&(1×2+2×5+1×1+5×6) \\ (0×1+3×3+0×2+4×1)&(0×2+3×5+0×1+4×6) \\ (-1×1+-2×3+0×2+0×1)&(-1×2+-2×5+0×1+0×6) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 14&43 \\ 13&39 \\ -7&-12 \\ \end{bmatrix}\)

矩阵的乘法满足以下运算律:

  • 结合律:\((AB)C=A(BC)\)
  • 左分配律:\((A+B)C=AC+BC\)
  • 右分配律:\(C(A+B)=AC+AB\)
  • 矩阵乘法不满足交换律

做矩阵相乘运算要注意的一些特性:

  • \(AB\) 有意义时,\(BA\)不一定有意义
  • \(AB\)\(BA\)都有意义时,并不意味着\(AB=BA\)(不满足交换律),但存在使得此等式成立的2个矩阵
  • 不满足消除率。两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即\(AB = O \)成立时,并不能推出\(A=O\)\(B=O\)

4 矩阵的转置

把矩阵\(A=(a_{ij})_{m×n}\)的行和列互相交换所产生的矩阵称为\(A\)的转置矩阵\(A^{T}=B=(B_{ji})_{n×m}\),这一过程就叫矩阵的转置,记作\(A^T\)\(A'\)

举个栗子:

\(A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\),则\(​​A^T=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\\ 3 & 0\\ -1&2\\ \end{bmatrix}\)

矩阵的转置满足以下运算律:

  • \((A^T)^T=A\)
  • \((A+B)^T=A^T+B^T\)
  • \((AB)^T=B^TA^T\)
  • \((\lambda A)^T=\lambda A^T\)\(\lambda\)是常数

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